Momen tĩnh, momen quán tính

1. Khái niệm mô men và tích phân:

 Mô-men Là đại lượng thể hiện tác động gây ra chuyển động quay của vật rắn.

Tích phân hiểu đơn giản là diện tích tổng quát hóa.

2. Mô-men tĩnh.

xét trường hợp tổng quát: ta có một diện tích rất nhỏ dF . câu hỏi đặt ra là mô-men của dF đó so với trục y và x là bao nhiêu (nghĩa là đại lượng tác động gây quay dF quanh trục x, y là bao nhiêu)?

Trường hợp cụ thể với tiết diện F thì:

S_x  = y1*F  (y1 là khoảng cách từ trọng tâm tiết diện F đến trục x)

S_y = x1*F   (x1 là khoảng cách từ trọng tâm tiết diện F đến trục y)
ở đây, chúng ta có thể vận dụng từ công thức này để xác định trọng tâm của tiết diện.

3.  Mô-men quán tính.

- Mô-men quán tính là đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật thể trong chuyển động quay.

- Trục quán tính chính trung tâm là trục đi qua trọng tâm của vật thể như hình trên. 

4. Mô-men quán tính của một số tiết diện cơ bản.

- Tiết diện hình chữ nhật: 

- Tiết diện tam giác:

- tiết diện tròn:

5. Mômen quán tính với các trục song song.

công thức chuyển trục song song:

    Mô men quán tính của một hình phẳng đối với một trục bất kỳ bằng mô men quán tính của hình đối với trục trung tâm song song với nó cộng với tích của diện tích F của hình với bình phương khoảng cách hai trục”.

    Mình xin nói thêm về ý nghĩa của Mô-men quán tính: giả sử chúng ta có cột như hình dưới. với tác dụng lực nào đó làm cho thanh cột bị uốn cong, lúc này tiết diện A-A sẽ bị xoay quanh trục x. khi ngừng tác dụng lực thì theo quán tính thanh cột sẽ trở về trạng thái ban đầu (tiết diện A-A sẽ xoay về như trạng thái ban đầu). Quán tính trên gọi là mô men quán tính (quán tính trong chuyển động xoay của tiết diện). 

    vậy nếu Mô-men quán tính càng lớn thì độ mảnh của thanh cột càng nhỏ -> độ ổn định thanh cột càng lớn. nó giống như hai chuyển động bên dưới.

1. Mô-men quán tính (I)

• Mô-men quán tính I đặc trưng cho khả năng chống lại sự biến dạng uốn của mặt cắt ngang.
• Khi I lớn, thanh cột có độ cứng uốn cao hơn, tức là nó ít bị cong khi chịu tải nén.
• Mô-men quán tính phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của mặt cắt (ví dụ: hình chữ H có I lớn hơn so với thanh tròn cùng tiết diện).

2. Độ mảnh (λ)

• Độ mảnh của thanh cột được tính theo công thức:

  λ=l_e/r

  Trong đó:

  • l_e: Chiều dài tính toán của thanh cột.

  • r: Bán kính quán tính, được xác định bằng:

    r=sqrt(I/A)​​

    với A là diện tích mặt cắt ngang.

• I lớn → r lớn → λ nhỏ.
  → Điều này đúng: mô-men quán tính lớn giúp giảm độ mảnh.

3. Độ ổn định của thanh cột

• Độ ổn định của thanh cột chủ yếu được đánh giá thông qua ứng suất tới hạn Euler:

  P_cr=(π²EI)/(l²_e)

  Trong đó:

  • P_cr​: Lực tới hạn gây mất ổn định (lực Euler).
  • E: Mô-đun đàn hồi của vật liệu.
  • I: Mô-men quán tính của mặt cắt.
  • l_e​: Chiều dài tính toán của thanh.

• Nếu I tăng → P_cr​ tăng → Thanh cột chịu nén tốt hơn, tức là độ ổn định tăng.

Kết luận

✔ Đúng một phần: Mô-men quán tính lớn hơn giúp giảm độ mảnh và tăng độ ổn định của thanh cột.

❌ Nhưng chưa đầy đủ: Độ ổn định của thanh cột không chỉ phụ thuộc vào mô-men quán tính, mà còn phụ thuộc vào chiều dài tính toán l_e​ và mô-đun đàn hồi E.

Ví dụ:

• Một thanh rất dài dù có mô-men quán tính lớn nhưng vẫn có thể mất ổn định do chiều dài quá lớn (l²_e​ ảnh hưởng mạnh đến lực tới hạn).
• Một thanh làm bằng vật liệu yếu (E nhỏ) cũng có thể mất ổn định dù có mô-men quán tính lớn.

💡 Sửa lại câu đúng hơn:
"Mô-men quán tính càng lớn thì độ mảnh càng nhỏ, giúp tăng độ ổn định của thanh cột, nhưng vẫn cần xét đến chiều dài và vật liệu của thanh."